综合评价问题¶
综合评价问题指的是：在若干个(同类)对象中，从一个或多个维度对其进行度量，最后给出一个总分或总排名。如不同工作的舒适度排名、大学排名、教练的执教水平排名等等。很多外文文献将这类问题称为多属性决策问题或多准则决策问题（Multi-criteria decision making or Multi-attribute decision making)。
这种问题的困难之处在于多个指标之间会相互“竞争”，往往一个评价对象不会是各方面都取得最优，如何合理权衡指标的重要性并将其整合起来是关键。
综合评价模型是数学建模比赛中最基础也是最常用的模型之一。
评价模型要素¶
我们通过评价系统来对评价问题进行解决。一个评价系统含如下5个要素：
- 评价对象：即评价问题中所研究的对象。假设一个综合评价问题中有$n$个评价对象，分别将其记为
$$
S_{1}, S_{2}, \cdots, S_{n}(n>1)
$$
$$
x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{m}(m>1)
$$
- 权重系数： 权重系数是对评价指标的相对重要性的量化表示。当各评价对象和评价指标值都确定以后，综合评价结果就依赖于权重系数的取值了，即权重系数确定的合理与否，直接关系到综合评价结果的可信度，甚至影响到最后决策的正确性。因此，权重系数的确定要特别谨慎，应按一定的方法和原则来确定。如果用$w_{j}(j=1,2, \cdots, m)$来表示评价指标$x_j$的权重系数，一般应满足
$$
w_{j} \geq 0, j=1,2, \cdots, m
$$$$
\sum_{j=1}^{m} w_{j}=1
$$
- 综合模型 综合模型是要通过建立一定的数学模型将多个评价指标值进行合理地量化综合打分，作为评价最终结果的依据。
关于综合评价的研究，具体可以参考如下书籍：
- Tzeng, Gwo-Hshiung, and Jih-Jeng Huang. Multiple attribute decision making: methods and applications. CRC press, 2011.
- Alinezhad, Alireza, and Javad Khalili. New methods and applications in multiple attribute decision making (MADM). Vol. 277. Cham: Springer, 2019.
当然很多优秀的学术论文解决的也是评价类问题，学习者也可以“综合评价模型”“多准则评价”“multi-criteria decision making”为关键词进行检索。
综合评价方法¶
比较较经典且常用的评价模型包括：
- TOPSIS
- 秩和比法
- 灰色关联法
- 熵权法
- 层次分析法
- 模糊评价法
当然，我们除了要关注评价模型选择以外，也要注意：
- 指标的筛选。挑选出合理的、有代表性的且可进行测量的属性或指标
- 数据的预处理。为了适应后续模型的要求以及指标之间的可比性、一致性，对原始数据进行转换
- 模型的适合度。不同模型有不同的特点，有的模型简单且常用，有的模型复杂、考虑全面，但操作难度大，还有的模型是在其他模型基础上构建的，建模者需要根据自身和问题的情况进行选择，不必贪求高难度。
- 结果的检验和比较。对评价模型得到的结果进行敏感性、稳健性分析，确保模型的可用性
参考文献